FILSAFAT TERJEMAHAN MILLER

BAB 1

FREGE

A.    Nilai Semantik Dan Reference1

Filsafat bahasa dimotivasi sebagian besar oleh keinginan untuk mengatakan sesuatu yang sistematis tentang gagasan intuitif kita makna, dan di Pengantar (edisi pertama) kita membedakan dua cara utama dalam yang account sistematis tersebut dapat diberikan. Yang paling berpengaruh tokoh dalam sejarah proyek systematising gagasan makna (di kedua cara ini) adalah Gottlob Frege (1848-1925), seorang Filsuf Jerman, matematikawan, ahli logika dan, yang menghabiskan nya seluruh karir sebagai guru besar matematika di Universitas Jena. Selain menciptakan bahasa simbolik modern logika, Frege memperkenalkan beberapa perbedaan dan ide-ide yang benar-benar penting untuk memahami filsafat bahasa, dan tugas utama bab ini dan berikutnya adalah untuk memperkenalkan perbedaan ini dan ide-ide dan untuk menunjukkan bagaimana mereka dapat digunakan dalam rekening sistematis makna.

B.      Bahasa Logis Frege

Karya Frege dalam filsafat bahasa dibangun di atas apa yang biasanya dianggap sebagai prestasi terbesarnya, penemuan bahasa logika simbolik modern. Ini adalah bahasa logis yang sekarang standardly diajarkan dalam kursus pengantar universitas pada subjek. Seperti disebutkan dalam Pendahuluan (edisi pertama), dasar pengetahuan tentang bahasa logis ini akan mensyaratkan seluruh buku ini, tapi kami akan sangat cepat menjalankan lebih dari beberapa ini akrab tanah di bagian ini.

Pembaca akan ingat bahwa logika adalah studi tentang argumen. A valid Argumen adalah satu di mana tempat, jika benar, menjamin kebenaran kesimpulan: yaitu di mana tidak mungkin untuk semua tempat untuk menjadi kenyataan, namun untuk kesimpulan palsu. sebuah valid Argumen adalah satu di mana kebenaran dari tempat tidak menjamin kebenaran kesimpulan: yaitu di mana setidaknya ada beberapa keadaan yang mungkin di mana semua tempat adalah benar dan kesimpulannya adalah false.3 Salah satu tugas logika adalah untuk memberikan kami dengan metode yang ketat untuk menentukan apakah suatu argumen yang diberikanvalid atau tidak valid. Untuk menerapkan metode logis, kita memiliki pertama yang menerjemahkan argumen, seperti yang muncul dalam alam bahasa, ke dalam notasi logis formal. Pertimbangkan hal berikut (intuitif valid) argumen:

(1) Jika Jones telah mengambil obat maka dia akan menjadi lebih baik;

(2) Jones telah mengambil obat; Oleh karena itu,

(3) Ia akan menjadi lebih baik.

 

Hal ini dapat diterjemahkan ke dalam notasi logis Frege dengan membiarkan huruf "P" dan "Q" menyingkat seluruh kalimat atau proposisi dari mana argumen terdiri, sebagai berikut:

Seperti akan akrab, kondisional "Jika. . . kemudian. . . "Akan dilambangkan oleh panah ". . . →. . . ". Argumen demikian diterjemahkan ke dalam simbolisme logis:

	P → Q, P; Oleh karena itu, Q.

 

Kondisional "→" dikenal sebagai sentensial ikat, karena memungkinkan kita untuk membentuk kalimat kompleks (P → Q) dengan menghubungkan dua kalimat sederhana (P, Q). Connectives sentensial lainnya adalah: "dan", dilambangkan dengan "&"; "Atau", yang dilambangkan dengan "v"; "Itu tidak terjadi bahwa ", dilambangkan dengan" - "; "Jika dan hanya jika", yang dilambangkan dengan "↔". The huruf "P", "Q", dll dikenal sebagai konstanta sentensial, karena mereka adalah singkatan untuk seluruh kalimat. Misalnya, di contoh di atas, "P" adalah singkatan untuk kalimat mengekspresikan proposisi bahwa Jones telah mengambil obat, dan sebagainya.

Mengingat kosakata ini, kita bisa menerjemahkan banyak bahasa alami argumen dalam notasi logis. pertimbangkan:

(4) Jika Rangers menang dan Celtic hilang, maka Fergus tidak bahagia;

(5) Fergus tidak bahagia; Oleh karena itu

(6) Entah Rangers tidak menang atau Celtic tidak kalah.

Kami menetapkan konstanta sentensial dengan kalimat sebagai komponen berikut:

 

Argumen kemudian diterjemahkan sebagai:

 

Sekarang kita telah diterjemahkan ke dalam notasi argumen logis kita dapat melanjutkan untuk menerapkan salah satu metode logis untuk mengecek keabsahan (misalnya metode kebenaran-tabel) untuk menentukan apakah argumen adalah valid atau tidak (pada kenyataannya argumen ini valid, sebagai pembaca harus memeriksa untuk diri mereka sendiri). Kosakata yang logis dijelaskan di atas milik proposisional argumen adalah kalimat mengekspresikan seluruh proposisi, disingkat oleh konstanta sentensial "P", "Q", "R" dll Namun, ada banyak argumen dalam bahasa alam yang intuitif valid, tetapi yang validitasnya tidak ditangkap oleh terjemahan ke dalam bahasa logika proporsional. Sebagai contoh:

(7) Socrates adalah seorang pria;

(8) Semua manusia fana; Oleh karena itu

(9) Socrates adalah fana.

Karena (7), (8) dan (9) adalah kalimat yang berbeda mengekspresikan berbeda proposisi, ini akan diterjemahkan ke dalam logika proporsional sebagai:

	P, Q; Oleh karena itu, R.

 

Masalah dengan hal ini adalah bahwa sementara validitas argumen jelas tergantung pada struktur internal kalimat konstituen, formalisasi dalam logika proposisional hanya mengabaikan struktur ini. Misalnya, nama yang tepat "Socrates" muncul baik dalam (7) dan (9), dan ini secara intuitif penting bagi validitas argumen, namun diabaikan oleh proposisi logika formalisasi yang hanya abbreviates (7) dan (9) oleh masing-masing, "P" dan "R". Untuk menangani hal ini, Frege menunjukkan kepada kita bagaimana untuk memperpanjang

notasi logis kami sedemikian rupa bahwa struktur internal kalimat juga dapat dipamerkan. Kami mengambil huruf dari tengah alfabet "F", G "," H "dan seterusnya, sebagai singkatan untuk ekspresi predikat; dan kita mengambil huruf-huruf kecil "m", "n" dan seterusnya, sebagai singkatan untuk nama yang tepat. Dengan demikian, di atas Misalnya kita dapat menggunakan skema terjemahan berikut:

m: Socrates

F:. . . adalah seorang pria

G:. . . adalah fana.

(7) dan (9) kemudian diformalkan sebagai Fm dan Gm masing-masing. tapi bagaimana (8)? Kita dapat bekerja untuk meresmikan ini di nomor tahap. Pertama-tama, kita bisa ulang kata-kata itu sebagai:

Untuk objek apapun: jika seorang pria, maka fana.

Menggunakan skema terjemahan di atas kita dapat menulis ulang ini sebagai: Sekarang, bukannya berbicara langsung dari objek, kita dapat mewakili mereka dengan menggunakan variabel "x", "y", dan sebagainya (dengan cara yang sama yang kita menggunakan variabel untuk berdiri untuk nomor dalam aljabar). Maka kita dapat ulangi (8) lebih lanjut sebagai:

Untuk objek apapun: jika F, maka G.

dan kemudian sebagai

Untuk setiap x: jika x adalah F, maka x adalah G

Ungkapan "Untuk setiap x" (atau "Untuk semua x") disebut universal quantifier, dan diwakili secara simbolis sebagai (∀x). seluruh The Argumen sekarang dapat diformalkan sebagai:

fm; (∀x) (Fx → Gx); Oleh karena itu, Gm.

Jenis logika yang demikian memungkinkan kita untuk menampilkan internal struktur kalimat disebut logika predikat, untuk alasan yang jelas (dalam kasus yang paling sederhana, itu merupakan kalimat subjek-predikat sebagai kalimat subjek-predikat). Perhatikan bahwa logika predikat tidak terpisah dari logika proporsional, tetapi lebih merupakan perpanjangan dari itu:

Logika predikat terdiri dari kosakata logika proporsional ditambah kosakata tambahan yang tepat nama, predikat, dan aturan sintaksis: ini menentukan, dalam hal sifat murni resmi

dari ekspresi yang bersangkutan, apakah urutan tertentu ekspresi diambil dari kosakata dianggap sebagai tata bahasa atau tidak. Misalnya, aturan-aturan sintaksis untuk logika proporsional dapat dinyatakan sangat sederhana sebagai berikut:

(i) konstan sentensial adalah tata bahasa.

(ii) Setiap ekspresi gramatikal diawali dengan "-" adalah gramatikal.

(iii) Setiap ekspresi gramatikal diikuti dengan "→" diikuti oleh setiap ekspresi

       gramatikal adalah tata bahasa.

(iv) Setiap ekspresi gramatikal diikuti dengan "&" diikuti oleh           setiap ekspresi

       gramatikal  adalah tata bahasa.

(v) Setiap ekspresi gramatikal diikuti dengan "v" diikuti oleh setiap ekspresi

      gramatikal adalah tata bahasa.

(vi) Setiap ekspresi gramatikal diikuti dengan "↔" diikuti oleh setiap ekspresi

      gramatikal adalah tata bahasa.

(vii) Setiap urutan ekspresi yang tidak dihitung sebagai gramatikal dalam kebajikan

        (i) - (vi) tidak gramatikal.

Sekali lagi, seseorang yang tidak memiliki pengetahuan tentang apa ekspresi yang bersangkutan berarti (misalnya bahwa "&" berarti dan, bahwa "v" berarti atau, dan sebagainya) dapat menggunakan aturan ini untuk menentukan apakah sewenang-wenangurutan tanda dianggap sebagai ekspresi gramatikal bahasa logika proporsional. Untuk melihat ini, pertimbangkan bagaimana kita bisa menggunakan aturan untuk menunjukkan bahwa mis "(P & Q) v R" adalah tata bahasa.

Pertama-tama, atas dasar sifat bentuk, kami akan mengidentifikasi P, Q, dan R konstanta sebagai sentensial, dan bahwa "&" dan "v" dihitung sebagai connectives sentensial. Atas dasar aturan (i), kita kemudian akan mengidentifikasi "P", "Q", dan "R" sebagai tata bahasa. Kemudian, atas dasar (iv), kita akan mengidentifikasi "(P & Q)" sebagai tata bahasa (dalam hal sifat murni formal, seperti bentuk dan urutan dari ekspresi konstituen). Akhirnya, atas dasar (v) kita akan mengidentifikasi "(P & Q) v R" sebagai tata bahasa (sekali lagi, dalam hal murni Sifat formal). Kita bisa melakukan hal yang sama untuk bahasa logika predikat. Kami dapat menentukan kosakata predikat logika - nama yang tepat, predikat ekspresi, variabel, dan bilangan - di murni resmi

Istilah, dan kemudian memberikan aturan formal yang menentukan urutan tanda dianggap sebagai tata bahasa. Rincian kebutuhan tidak perhatian ini kami di sini. Yang penting untuk tujuan ini adalah hanya untuk dicatat bahwa Frege discerns kategori sintaksis berikut nya bahasa logis: nama yang tepat, predikat, kalimat deklaratif, connectives sentensial, dan bilangan.

C.    Semantik Dan Kebenaran

Dalam berurusan dengan sintaks bahasa, kita berhadapan dengan hanya sifat murni formal ekspresi penyusunnya. tapi, Tentu saja, selain yang sifat formal, ekspresi juga dapat memiliki sifat semantik: artinya ini, atau lihat itu, dan sebagainya. Dalam semantik kita bergerak dari mengingat murni Sifat formal ekspresi linguistik untuk mempertimbangkan mereka arti dan makna. Mari kita mulai dengan berpikir lebih banyak tentang argumen dalam proposisional logika, dan bagaimana kita menentukan validitas mereka. pertimbangkan lain argumen yang sangat sederhana:

(14) Beethoven adalah Jerman dan Prancis Napoleon; Oleh karena itu

(15) Beethoven adalah Jerman.

Hal ini meresmikan P & Q; Oleh karena itu, P. Sekarang, bagaimana kita menentukan

apakah argumen ini valid atau tidak? Ingatlah bahwa argumen adalah dikatakan valid jika tidak ada situasi yang mungkin di mana semua aset yang benar dan kesimpulannya adalah palsu. Salah satu cara untuk menentukan apakah sebuah argumen yang valid, maka, hanya untuk menghitung berbagai kemungkinan distribusi kebenaran dan kepalsuan atas tempat dan kesimpulan, dan memeriksa apakah ada sehingga tempat semua keluar benar dan kesimpulan datang out palsu. Jika ada, argumen tidak valid; jika tidak ada, maka Argumen ini berlaku. Ini, tentu saja, hanya tabel kebenaran akrab metode untuk menentukan validitas. Kebenaran-meja untuk argumen di atas adalah sebagai berikut:

P	Q	P & Q	P
B	B	B	B
B	S	S	B
S S	B S	S S	S S

Ada empat kemungkinan distribusi ke kalimat konstituen P dan Q, dan ini disebutkan pada empat baris di sisi kiri meja, dengan T yang mewakili "benar" dan F mewakili "palsu". Mengingat hal ini, kita bisa bekerja di luar distribusi kemungkinan kebenaran dan kepalsuan untuk premis dan kesimpulan: ini dilakukan dalam kolom ketiga dan keempat. Kita melihat bahwa hanya ada satu keadaan di mana premis benar - ketika kedua P dan Q ditugaskan nilai benar - dan bahwa dalam kasus ini, kesimpulan juga benar. Jadi tidak ada kemungkinan kasus di mana premis ini adalah benar dan di mana kesimpulannya adalah palsu. Jadi argumen tersebut valid.

Apa pertanyaan tentang keabsahan argumen memiliki hubungannya dengan semantik? Secara intuitif, validitas argumen akan tergantung pada arti dari ekspresi yang muncul di dalamnya. Artinya, validitas sebuah argumen yang akan tergantung pada sifat semantik dari ekspresi dari yang dibangun. Dalam argumen di atas ekspresi dasar dari mana argumen yang dibangun adalah kalimat. Apa sifat dari kalimat yang relevan dengan menentukan validitas kesimpulan? Dalam contoh pertama, tampaknya seolah-olah itu adalah sifat kebenaran dan kepalsuan. Setelah semua, kebenaran-tabel Metode bekerja dengan menentukan kemungkinan distribusi ini sangat properti. Jadi, kebenaran dan kepalsuan terlihat seperti kandidat yang baik untuk sifat semantik yang bersangkutan. Tugas tertentu kebenaran dan kepalsuan untuk P dan Q, kita dapat mengerjakan berbagai tugas kebenaran dan kepalsuan untuk tempat dan kesimpulan, dan ini memungkinkan kita untuk mengatakan apakah atau tidak argumen yang valid. jadi, validitas ditentukan oleh kemungkinan distribusi kebenaran dan kepalsuan untuk tempat dan kesimpulan, dan ini pada gilirannya ditentukan dengan kemungkinan distribusi kebenaran dan kepalsuan untuk konstituen kalimat. Mari kita mendefinisikan pengertian nilai semantik sebagai berikut:

Dari sini, kita dapat memperoleh tesis ketiga. Karena nilai semantik ekspresi kompleks ditentukan oleh nilai-nilai semantik yang bagian, mengganti satu bagian dengan yang lain memiliki sama Nilai semantik akan meninggalkan nilai semantik (kebenaran-nilai) dari Seluruh kalimat tidak berubah:

Tesis 3: Pergantian konstituen kalimat dengan lain yang memiliki nilai semantik yang sama akan meninggalkan Nilai semantik (yaitu kebenaran-nilai) dari kalimat tidak berubah. Sejauh ini, meskipun, kita hanya memperhatikan ekspresi dari salah satu kategori sintaksis diperkenalkan pada kalimat deklaratif.

Frege memperluas teori semantik ini untuk menutupi ekspresi dari kategori lain sintaksis: nama yang tepat, connectives sentensial, predikat, dan bilangan. Idenya adalah untuk menetapkan jenis semantik nilai untuk setiap jenis ekspresi: seperti dalam kasus kalimat deklaratif, ini akan menjadi milik jenis ekspresi yang menentukan kontribusi contoh dari jenis kebenaran atau kesalahan kalimat di mana mereka muncul. Mari kita mulai dengan kasus nama yang tepat. Pertimbangkan kalimat "Cicero adalah Roman". Fitur apa nama yang tepat "Cicero" relevan dengan menentukan apakah kalimat ini benar atau salah? Secara intuitif, fakta bahwa itu singkatan objek individu yang orang Cicero: jika nama yang tepat berdiri untuk beberapa individu lain (misalnya Plato) kalimat tersebut mungkin memiliki truthvalue berbeda dari satu itu benar-benar memiliki. Jadi, seperti nilai semantik kalimat deklaratif adalah-nilai kebenaran, nilai semantik dari nama yang tepat adalah obyek. Hal ini memungkinkan kita untuk menyatakan tesis keempat teori semantik Frege:

Tesis 4: Nilai semantik nama yang tepat adalah objek yang mengacu pada atau singkatan.

Hal ini mungkin tampak sedikit aneh. Bukankah itu kata-kata basi yang tepat nama mengacu pada benda? Dan jika itu adalah kata-kata basi, bagaimana itu bisa menjadi tesis teori semantik substansial? Yang penting untuk menghargai di sini adalah bahwa Frege menggunakan gagasan "semantik nilai "dengan cara teknis: gagasan nilai semantik memiliki nya konten ditetapkan oleh definisi di atas. Mengingat definisi tersebut dapat muncul sebagai penemuan bahwa nilai semantik dari nama yang tepat adalah objek yang mengacu pada. Bahwa ini sesuai dengan intuitif kami penggunaan "referensi" yang diterapkan untuk nama yang tepat adalah semua untuk baik. Namun, hal ini menyebabkan Frege beberapa aneh dan tidak perlu views.

Sama seperti Cicero adalah obyek, dan merupakan referensi dari Nama yang tepat "Cicero", Frege ditafsirkan nilai semantik kalimat, kebenaran-nilai benar dan salah, sebagai obyek juga, dan ini menuntunnya untuk menafsirkan kalimat sebagai semacam nama yang tepat untuk ini benda, yang disebutnya Benar dan Salah:

Setiap kalimat assertoric berkaitan dengan [nilai semantik] kata-kata yang demikian dianggap sebagai nama yang tepat, dan yang [semantik value], jika memiliki salah satu, adalah baik Benar atau False. Sekarang ini tampaknya aneh: bukankah ini hanya kasus analogi yang membentang melewati titik di mana ia memiliki aplikasi yang masuk akal? Frege dirinya menyadari bahwa karakterisasinya kebenaran-nilai sebagai benda sangat tepat untuk membangkitkan semacam ini reaksi, mengatakan bahwa "Penunjukan dari kebenaran-nilai sebagai obyek mungkin tampak sewenang-wenang mewah atau mungkin bermain hanya pada kata-kata ". Dalam apa yang berikut, kita akan mengabaikan doktrin yang aneh ini. Hal yang perlu diingat adalah bahwa gagasan nilai semantik adalah istilah teknis, yang isinya diberikan oleh definisi kita: kalimat dapat ditugaskan semantik nilai dalam pengertian teknis ini, dan nama sehingga bisa tepat, tetapi fakta bahwa nilai-nilai semantik yang terakhir adalah objek tidak perlu kekuatan kita untuk menerima bahwa nilai-nilai semantik dari mantan juga

benda dari jenis khusus dan misterius.

Theses 1 dan 4 tentukan nilai-nilai semantik kalimat deklaratif dan nama yang tepat, yaitu, sifat semantik mereka ekspresi dalam kebajikan yang mengandung kalimat mereka adalah ditentukan sebagai benar atau salah, dan, pada gilirannya, dalam hal mana argumen mengandung kalimat-kalimat sebagai konstituen ditentukan sebagai valid atau tidak valid. Tapi bagaimana dengan ekspresi yang lain kategori sintaksis dilihat oleh Frege: connectives, predikat, dan bilangan? Sebelum menjawab pertanyaan ini, kita perlu mempersiapkan dengan mempertimbangkan apa yang Frege mengatakan tentang fungsi matematika.

D.    Fungsi dan objek

Semantik yang Frege menyediakan untuk penghubung, predikat, dan bilangan berasal dari analogi dengan matematika fungsi. Ide ekspresi fungsional akan menjadi familiar bagi siapa saja yang telah mempelajari matematika dasar. Ambil fungsional Ekspresi "y = 2x". Di sini y dikatakan fungsi dari x: kita mendapatkan nilai yang berbeda untuk y seperti yang kita masukkan angka yang berbeda untuk x. The nomor yang variabel x singkatan disebut argumen fungsi (ini tidak harus bingung dengan pengertian argumen yang digunakan dalam logika, seperti dalam "argumen yang valid").

Dengan demikian, untuk Argumen 1, kita mendapatkan nilai 2, untuk argumen 2, kita mendapatkan nilai 4, untuk argumen 3, kita mendapatkan nilai 6, dan seterusnya. Dengan demikian kita bisa mewakili fungsi sebagai himpunan pasangan memerintahkan, di masing-masing anggota pertama sesuai dengan argumen fungsi dan anggota kedua sesuai dengan nilai yang fungsi memberikan argumen itu. Dengan demikian, fungsi y = 2x dapat direpresentasikan sebagai {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6),. . .}. 11 ​​Call perpanjangan fungsi. Sekarang "y = 2x" singkatan fungsi dari satu argumen: hanya ada satu variabel, sehingga hanya satu angka bisa "ditempatkan di" untuk memberikan nilai fungsi. Ada juga bisa menjadi fungsi dua argumen.

Misalnya, "z = 2x + 5y" singkatan fungsi seperti.

Di sini kita perlu untuk slot dalam dua angka untuk mendapatkan nilai fungsi: mis nilai fungsi untuk x = 1 dan y = 1 adalah 7, dan untuk x = 1 dan y = 2 nilainya adalah 12 Kita dapat mewakili fungsi dari dua argumen sebagai satu set tiga kali lipat memerintahkan, dengan yang pertama anggota dari triple mewakili argumen untuk x, kedua anggota argumen untuk y, dan anggota ketiga nilai disampaikan oleh fungsi bagi mereka argumen. Dengan demikian, fungsi hanya diberikan memiliki ekstensi {(0, 0, 0), (1, 0, 2), (0, 1, 5), (1, 1, 7), (1,

2, 12),. . .}.

Sekarang, pertimbangkan proses dengan cara yang kami menentukan nilai-nilai fungsi yang "y = 2x" singkatan. Kami Slot di argumen dan menghitung nilai-nilai sebagai berikut: 2.0 (= 0), 2.1 (= 2), 2.2 (= 4), 2,3 (= 6), dan sebagainya. Pembicaraan tentang "slotting di" argumen menunjukkan bahwa ekspresi yang merupakan singkatan dari fungsi harus memiliki "celah" di mana ekspresi berdiri untuk argumen dapat ditempatkan di: jadi kita bisa mewakili ekspresi fungsional dalam hal ini kasus ini sebagai "y = 2 ()", di mana kurung menunjukkan bahwa ada kosong ruang dalam ekspresi fungsional yang harus diisi oleh ekspresi semacam tepat agar nilai yang akan dihitung.

Bahkan, mewakili fungsi sebagai "y = 2x" melakukan hal ini hanya juga, karena variabel "x" tidak berdiri untuk nomor tertentu, tetapi hanya berfungsi untuk menunjukkan tempat di mana angka yang berdiri untuk nomor tertentu dapat dimasukkan untuk mendapatkan nilai. Frege merupakan fitur ini fungsi dengan mengatakan bahwa mereka tidak lengkap atau tidak jenuh:

Saya prihatin untuk menunjukkan bahwa argumen tersebut bukan milik dengan fungsi, tetapi berjalan bersama-sama dengan fungsi untuk membuat up keseluruhan yang lengkap; untuk fungsi dengan sendirinya harus dipanggil lengkap, membutuhkan suplementasi, atau unsaturated. Hal ini bertentangan dengan kasus nama yang tepat (termasuk angka, yang merupakan nama yang tepat dari angka) dan kalimat, yang tidak memiliki celah seperti: berbeda dengan ekspresi fungsional, benda-benda mereka berdiri untuk selesai atau jenuh. Dalam kasus fungsi di atas kita memiliki fungsi dari nomor ke nomor: kedua fungsi mengambil nomor sebagai argumen dan menghasilkan angka sebagai nilai. Wawasan Frege yang menyebabkan ia semantik untuk predikat, connectives, dan kuantifier adalah realisasi bahwa akan ada fungsi yang mengambil hal-hal lain selain angka sebagai argumen dan values.

E.     Predikat, Connectives, Dan Bilangan

Pertimbangkan ekspresi predikat ". . . bahkan ". Seperti fungsional ekspresi dibahas dalam bagian sebelumnya, ini memiliki celah di mana angka dapat ditempatkan. Apa hasil dari slotting sebuah angka yang diberikan ke celah? Ini akan menjadi kalimat yang benar, jika

nomor dilambangkan dengan angka ini bahkan; itu akan menjadi kalimat palsu, sebaliknya. Dengan demikian, kita dapat melihat predikat ". . . bahkan "sebagai berdiri untuk fungsi dari nomor kebenaran-nilai. Tapi ada juga fungsi yang mengambil benda-benda selain angka sebagai argumen mereka. Pertimbangkan ". . . bulat ". Ini memiliki celah mana yang tepat Nama dapat ditempatkan, dan nilai yang disampaikan akan menjadi kenyataan jika objek dilambangkan dengan nama yang tepat adalah bulat, false jika tidak. Jadi ". . . adalah bulat "dapat dilihat sebagai berdiri untuk fungsi dari objek kebenaran-nilai. Secara umum, ekspresi predikat akan berdiri untuk fungsi dari objek untuk kebenaran-nilai. Frege cadangan istilah "Konsep" untuk fungsi yang nilainya selalu-nilai kebenaran. Hal ini memungkinkan kita untuk menyatakan tesis kelima Frege semantik teori:

Tesis 5: Nilai semantik predikat adalah fungsi.

Dengan analogi dengan contoh-contoh di bagian sebelumnya, ekstensi fungsi dilambangkan dengan ". . . bahkan "adalah himpunan orderedpairs {(1, false), (2, true), (3, false), (4, true),. . .}. Secara intuitif, itu adalah perpanjangan dari predikat yang menentukan the-nilai kebenaran kalimat yang muncul. Ambil subjectpredicate sebuah kalimat seperti "4 bahkan". Bahwa ini benar ditentukan Singkatnya oleh dua hal: pertama, bahwa angka "4" singkatan nomor 4, dan kedua, bahwa jumlah 4 dipasangkan dengan nilai benar dalam perpanjangan fungsi dilambangkan dengan ". . . bahkan ". juga, tesis 3 menyatakan bahwa substitusi, dalam ekspresi yang kompleks, dari bagian dengan beberapa bagian lain memiliki nilai semantik yang sama, daun nilai semantik (kebenaran-nilai) dari seluruh berubah. kita bisa melihat bahwa kondisi ini terpenuhi jika kita mengidentifikasi nilai semantik dari predikat dengan fungsi, dipahami dalam kerangka ekstensional: